【摘要】数学研究性学习是学生在数学及相关学科教师的群体性指导下，运用类似于数学研究的思想与方法去获取和应用数学知识的一种学习方式。在这一学习活动中，教师作为学生的群体性“指导者”、潜能的“挖掘者”、研究的“合作伙伴”的新型师生关系，现代科学技术手段所构建起的人脑加电脑的新型学习机制，以及以数学建模和数学实验过程所架设起的联系数学理论与实际生活的“桥梁”，将使数学研究性学习既实现再现数学知识产生、发现与发展的历史轨迹，又从理论上与实践上真正切入到 2 1世纪的发展轨道。
【关键词】数学研究性学习；数学研究；师生关系；学习内容
“研究性学习”已经逐步成为学校教育中科学、系统地培养学生创造力而实施的一种崭新的教学模式，引起了教育界和全社会的广泛关注，成为当前基础教育改革的热点。“研究性学习”教育模式的核心教育观念就在于“要让学生感受、理解知识产生和发展的过程”，以达到培养学生的科学精神和创新思维习惯，培养学生收集处理信息的能力，获取新知识的能力，分析和解决问题的能力，语言文字表达能力以及团结协作和社会活动能力的目的。近年来的基础教育改革实践表明，“研究性学习”已促使课堂教学在落实科学精神和创新能力培养方面取得了重要进展，这对于推进我国基础教育的改革深化，全面实施素质教育，有着十分重要的理论和实践意义。
1 数学研究性学习的内涵
数学研究性学习是指学生在数学教师或相关学科教师的指导下，从某些数学问题以及其它学科或实践生活中出现的问题中选择并确定研究性课题，运用类似于数学学科的科学研究方法去获取和应用数学知识，从而在掌握数学知识的同时，体验、理解、掌握和应用数学学科的研究方法，培养科学精神，发展科研能力的一种学习方式。可见，数学研究性学习是一种以学生为主体的积极学习活动过程，是学生在数学教学活动中去自主选择研究学习课题，亲身去发现、提出、探究和解决数学问题的探索性学习方式。
“运用类似于数学学科的科学研究方法并获取和应用数学知识”表明了数学研究性学习的基本形式。在学习过程中，学生将模拟数学家或数学爱好者的数学研究方法，“再现”数学研究及应用的过程，其实质就是学生对数学学科科学研究的思维方式和研究方法的学习与运用，通过这样一种基本形式和手段，培养学生科学的创造精神、求实精神、革新精神、自由精神、审美精神以及利用科学造福于人类的精神。在这种类似于数学学科的科学研究方法和研究过程的“模仿”、“运用”和“再现”中，学生不仅看到了客观世界中的数学神奇和实际生活中的数学美丽，更为重要的是学生的能力、毅力、科学精神、协作意识等综合素质得到了培养，在实践中找到了自己，在探索中塑造了人格，在创新中发现了自我。这种在学习活动过程中对数学学科科学研究的“模仿”、“运用”和“再现”，正是数学研究性学习所具有的最基本的本质性特征。
“学生在数学教师或相关学科教师的指导下”表明了学习活动中师生间的相互基本关系，说明了数学研究性学习是在学校教育与班级教学的整体环境中进行的。在学习过程中，学生需要来自于教师的“指导”和“帮助”。教师的主要职责是创设一种有利于数学研究性学习的情景和途径。教师的权威不再建立在学生的被动与无知的基础上，而是建立在教师借助学生的积极参与以促进其充分发展的能力之上。数学研究性学习将促使学生摆脱被动、封闭的学习环境的禁锢，主动积极地去探索、尝试并谋求个体创造潜能的充分发挥。在整个学习过程中，教师只需适度参与，重点是在组织、评价和总体指导等环节上发挥主导作用。教师的指导要面向每一位学生的主动性和探索性的数学研究性活动，所创设的数学学习情景和所提供的背景素材要能够引起不同层面的全体学生的主动思考，激发学生之间、师生之间的积极交流。这种在学习活动中，由学生的主动性和自主性以及教师参与的适度性和指导性所形成的师生关系，促成了学生自由奔放和新颖想象力的展开，营造了一种“无拘无束的氛围”和“自由呼吸”的空间，使学生的创造潜能得以充分释放。
“在掌握数学知识的同时，体验、理解和应用数学学科的研究方法”表明了学习的基本内容。从认知心理学的角度来看，数学学习可以分为三个层次：一是数学概念的学习，以了解数学对象的本质属性；二是数学命题的学习，以明确数学概念与数学概念之间的逻辑联系；三是数学问题解决的学习，即运用数学概念和数学命题解决数学问题。数学研究性学习主要是第三层意义上的学习，其目的就在于发展学生运用数学知识去发现数学问题和解决数学问题的能力，这正是数学研究性学习与一般的数学知识与技能学习的根本区别。数学研究性学习所采用的是问题解决的形式，让学生经历在不同的实际背景中去发现数学问题，寻找解决数学问题的策略，实施对数学问题的求解以及检验、论证与交流自己所获得的研究结论，推广数学问题的解等主动性活动。“数学问题”是数学研究性学习的主要载体，其知识来源是多方面的、多渠道的，这些问题的背景材料可以是老师提供的，也可以完全是学生自己选择和确定的；可以是数学教学内容的拓展延伸，也可是对各种自然和社会现象的探究；可以是纯思辩性的教学素材，也可以是实践性操作类的；可以是已经证明了的数学结论，也可以是未知的知识领域。数学研究性学习将彻底打破以问题为起点，以结论为终点，即“问题—解答—结论”的封闭式数学教学模式，构建起“问题—探究—解答—结论—问题—探究……”的开放式的数学教学模式，打破囿于学校、囿于教室的教育空间概念，促进课堂向实践延伸，向社会延伸，向大自然延伸。在数学研究性学习的过程中，学生会面临各种实际背景材料、涉及多方面的知识，这些知识的选择、积累和运用完全以数学问题为中心，呈现横向的相互交叉状态。数学研究性学习正是以“数学实践”与“数学创造”为指向的学习形式，是获取“知识”与培育“智慧”的辩证过程。
2 数学研究性学习的实质
Ｇ·波利亚在他的数学名著《数学与猜想》中指出：“对于正积极搞研究的数学家来说，数学也许往往像是猜想游戏：在你证明一个数学定理之前，你必须猜想到这个定理，在你搞清楚证明细节之前，你必须先猜想出证明的主导思想。”他还说：“数学家的创造性工作成果是论证推理，即证明，但是这个证明是通过合情推理，通过猜想而发现的。只要数学的学习过程稍能反映出数学的发明过程的话，那么就应当让猜测、合情推理占有适当的位置。”由此可见，数学研究就是一个以合情推理为手段的猜想过程。难怪Ｇ·波利亚要“向教授所有班级的数学教师们呼吁：让我们教猜想吧 !”尽管上述这些观点是从数学理论的角度来解释的，但同样也适宜于其它学科或实践生活中产生的数学问题的研究，适宜于数学应用的研究。从科学教育标准的角度来说，以合情推理为前提的数学猜想活动过程中的“研究是多层面的活动，包括观察；提出问题；通过游览书籍和其它信息资源发现什么是已经知道的结论，制定调查研究计划；根据实验数据证明对已有的结论作出评价；用工具收集、分析、解释数据；提出解答、解释和预测以及交流结果。研究要求确定假设，进行批判的和逻辑的思考，并且考虑其它可
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